单位 1 · 工作效率 · 合作天数
工程问题应用题练习
把工作总量看作单位 1，随机出题练单人天数、两人合作与
甲先做乙再加入三类变式；答完即时判分，展开「设 1 → 求效率 → 列式」的完整过程。
快速套用示例
方法讲解
工程问题三板斧
所有变式都从同一个假设出发：把总量看作单位 1，再按「设 1 → 求效率 → 列式 → 验算」四步走。
① 单人效率
甲 a 天完成 → 每天完成 1/a。反过来，每天完成 1/a → 需要 a 天。效率与天数互为倒数，是整个工程问题的地基。
② 合作天数
合作天数 = 1 ÷ (1/a + 1/b)。甲 10 天、乙 15 天：1/10 + 1/15 = 1/6，合作 6 天完成。千万别把天数直接相加得 25 天。
③ 先做后加入
先算「先做的人单独完成了多少」，求出剩余量；再用「剩余量 ÷ 效率和」得合做天数，两段相加即总天数。
战绩
本组 10 题统计
每答一题自动记录；连做 10 题后弹出本组小结，可一键开始新的一组。
错题本
答错的题都在这里
错题自动保存在本地浏览器，点「重练错题」逐道再答，做对后自动移出错题本。
| 题目 | 正确答案 | 上次答错 | 错次 | 操作 |
|---|
| 错题本为空，继续保持。 |
导出
CSV 字段转义预览
题目文本含逗号、引号时会自动加引号包裹、内部引号翻倍，Excel 直接打开不会串列。
固定题
四道经典例题
适合反复练同一道题、或老师课前演示讲解用。
📖 口径说明与常见误填
把话说清楚，比多算更有用
| 单位口径 | 工作总量一律看作单位 1：a 天完成 ↔ 每天完成 1/a，效率与天数互为倒数，谁是谁别认反。 |
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| 天数 vs 效率 | 合作天数 ≠ 天数相加（10 天 + 15 天 ≠ 25 天）：先把各自天数换算成每天完成几分之几，再求效率和，最后 1 ÷ 效率和。 |
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| 先做后加入 | 答案填「还需要」的天数，不含先做者单独干的天数；解析按「先单独做 → 求剩余量 → 求效率和 → 剩余 ÷ 效率和」四步走。 |
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| 通分口径 | 效率和必须先通分再相加：1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 1/6；直接分子加分子、分母加分母是最常见错法。 |
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| 保留位数 | 入门与常规难度保证整除友好；挑战难度可能除不尽，按题目注明的保留两位小数作答，判分允许 ±0.01 误差。 |
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这个工具解决什么问题
「两人合作到底几天完成」「为什么不能把天数加起来」「甲先做了几天之后怎么办」——工程问题的所有变式都从同一个假设出发：把总量看作单位 1。本工具按单人效率、合作天数、先做后加入三条线随机出题，每题解析都从「设 1」开始，进度条示意图把两段工期画成一条轨道，接缝处就是加入时刻。
三条工程问题铁律
① 先把天数换成效率（1 ÷ 天数），再谈合作——拿天数硬算是本题型第一大错；② 合作天数 = 1 ÷ 效率和，效率和要通分后相加；③ 先做后加入分两段算：先单独做 → 求剩余量 → 剩余 ÷ 效率和，两段别搅在一起。
使用方法
- 在首屏选题型（可混合）与难度，点「换一题」出题；
- 填入天数（可填分数如 1/6）后点对答案，判分并展开「设 1 → 求效率 → 列式 → 验算」全过程；
- 答完看右侧进度条示意图：蓝段是先做者完成的部分，橙段是合做段，接缝即加入时刻；
- 答错的题自动进错题本，点「重练错题」逐道清掉；
- 连做 10 题弹出本组小结；需要留档就导出 CSV 或打印 A4 练习卷。
更新记录
- 1.02026-10-29首版上线：单人效率 / 合作天数 / 先做后加入 / 混合四种出题模式，入门·常规·挑战三档难度（整除友好出题引擎），两段式合作进度条示意图，单位1三板斧方法讲解，答案支持分数与小数（±0.01 判分容差），本组 10 题战绩与完成小结，错题本与一键重练，CSV 字段转义导出，A4 练习卷打印，4 道经典例题一键载入。
常见问题
工程问题为什么要把总量看作单位 1？
因为题目通常不告诉你工程到底有多大（多少个零件、多少米路），只告诉完成时间。把总量记作单位 1，甲 10 天做完，每天就完成总量的 1/10，这就是甲的工作效率。效率一旦用分数表示，合作问题就变成分数加法：两人每天的效率和乘天数等于 1，解方程即可。本工具的每道题解析都从「设总量为 1」开始。
两人合作几天完成怎么算？
公式：合作天数 = 1 ÷ (1/甲天数 + 1/乙天数)。例如甲 10 天、乙 15 天，效率和是 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6，合作天数 = 1 ÷ 1/6 = 6 天。直观理解：两人每天合做 1/6，做完整个 1 需要 6 天。本工具会展开通分全过程。
「甲先做几天乙再加入」这类变式怎么解？
分两段算。例如一份书稿甲单独 12 天完成、乙单独 24 天完成，甲先打 3 天后乙加入：先算甲 3 天完成 3/12 = 1/4，剩余 1 − 1/4 = 3/4；两人每天合做 1/12 + 1/24 = 1/8，还需要 3/4 ÷ 1/8 = 6 天。解析始终按「先单独做 → 求剩余量 → 求效率和 → 剩余 ÷ 效率和」四步展开。
工作效率是什么？和「天数」有什么区别？
工作效率是「单位时间完成的工作量」，本工具统一为每天完成总量的几分之几；天数是完成全部工作所需的时间。两者互为倒数：10 天完成 ↔ 每天完成 1/10。列式时最容易犯的错就是把天数当效率直接相加，例如把 10 天、15 天合作算成 25 天——正确答案是 6 天，一定要先换成效率。
答案填什么格式才能判对？
所有题都填「天数」一个数字，允许小数（如 6.25）或分数（如 25/4）；本工具出题保证整除友好或注明保留两位小数，判分允许 ±0.01 误差。判定结果后解析会展开每一步算式，方便核对是通分出错还是减法出错。
进度条示意图怎么看？
示意图把总量画成一条 100% 的轨道：蓝色段是甲完成的部分，橙色段是乙（或合做）完成的部分，两种颜色接缝处就是「乙加入」的时刻。做完题后示意图会按本题数据画出真实比例的两段式轨道，一眼看出两段各自占多少。
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