一阶线性、二阶常系数齐次、一阶可分离（y′=ky）三类方程，给出通解形式与特征根分析。
y′ + py = q → y = Ce^(−px) + q/py″ + ay′ + by = 0 → 特征方程 r²+ar+b=0Δ>0 两实根，Δ=0 重根，Δ<0 共轭复根y′ = ky → y = Ce^(kx)二阶方程只填 a、b；一阶线性填 p、q；y′=ky 只填 k。
| 判别式 | 根 | 通解 |
|---|---|---|
| Δ>0 | 两个不等实根 r₁,r₂ | y=C₁e^(r₁x)+C₂e^(r₂x) |
| Δ=0 | 重根 r | y=(C₁+C₂x)e^(rx) |
| Δ<0 | 共轭复根 α±βi | y=e^(αx)(C₁cosβx+C₂sinβx) |
一阶方程看能否写成 y′+p(x)y=q(x)，能就用积分因子 e^(∫p dx)；二阶常系数先写特征方程 r²+ar+b=0，按判别式分三种情况写通解。
通解中的 C 由初始条件确定。没有初始条件时，只能给含任意常数的通解。
二阶方程需要两次积分，因此有两个任意常数，需两个初始条件确定。
重根时两个解线性相关，用 x·e^(rx) 构造第二个线性无关解。
先求齐次通解，再找一个特解，两者相加。特解形式按右端项类型待定。
解析解是表达式，适合分析性质；数值解是离散点，适合无法解析求解的方程。