周长 · 面积 · 正方形最优
几何最大面积训练器
周长固定，什么时候面积最大？面积固定，什么时候周长最短？
把你的方案和理论最优放在一起比，直接看出差多少、达成率多少，还能随机出题练几何最值。
快速套用示例
计算明细
最优方案与你的方案对照
同一组条件下，把理论最优（正方形）与你的实际方案逐项摆在一起，差距一目了然。
训练
几何最值训练器
随机出题练「周长一定面积最大」，答完展开推导过程。
点「换一题」随机出一道几何最值题。
固定题
批量
多套方案并排比
调好一组参数点「加入对比」，最多并列 6 组，自动标出最优面积最大的方案。
加入 2 组以上方案即可自动比较最优面积。
导出
CSV 字段转义预览
含逗号、双引号、换行的字段会自动加引号包裹、内部引号翻倍，Excel 直接打开不会串列。
答疑
几何最值常见问题
周长一定的长方形，什么时候面积最大？
当长和宽相等时面积最大，也就是正方形。公式是：最大面积 =（周长 ÷ 4）²。例如周长 20 米，长宽各 5 米时面积 25 平方米；若做成 6×4 的长方形，面积只有 24 平方米，少了 1 平方米。达成率就是你的面积除以最大面积，99% 以上已经相当接近最优方案。
面积一定的长方形，什么时候周长最短？
同样是在长宽相等时周长最短。公式是：边长 = √面积，最小周长 = 4 × √面积。例如面积 144 平方米，做成 12×12 的正方形周长只有 48 米；做成 9×16 的长方形周长是 50 米，多出 2 米。这个结论和周长固定求最大面积是同一个数学原理的两面。
为什么一定是正方形最划算？
设长为 a、宽为 b，周长固定时 a + b 是一个定值，而面积 a×b 在 a 与 b 越接近时越大（可以用 (a−b)² ≥ 0 推出 ab ≤ ((a+b)/2)²）。面积固定时同理，由 (a−b)² ≥ 0 可得 a+b ≥ 2√(ab)，所以周长 2(a+b) ≥ 4√(ab)。两个方向都指向同一个结论：正方形是最优形状。
实际生活中怎么用这个结论？
典型场景是围栏、篱笆、边框预算：用固定长度的篱笆围一个长方形菜地，靠近正方形能多打多少菜地；反过来，固定面积的土地要修一圈围栏，改成方形能省多少围栏长度。工具的「已知两边」模式可以直接算出来：保持面积不变改成正方形，周长能从 26 米缩短到约 25.3 米，省下约 0.7 米。
「达成率」是什么意思？
达成率 = 你的方案 ÷ 理论最优值，用来衡量离最优有多近。周长一定的场景看面积达成率，面积一定的场景看周长达成率。100% 表示你的方案正好是正方形；90% 以下说明长宽差距已经比较明显，值得回头调整。
几何训练器怎么用？
训练器按入门、常规、挑战三档难度随机生成周长，直接问你「这个周长的长方形最大面积是多少」，答完立刻给对错判定，并展开「周长 ÷ 4 = 边长，边长 × 边长 = 最大面积」的完整推导。另外还准备了四道固定题（周长 20、36、40、60），适合反复练同一道题。
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