空间向量计算器

四点定两面的标准题：AB×AC 给平面 ABC 的法向量，AB×AD 给平面 ABD 的法向量，二面角、点到面距离、四面体体积一次出结果。

叉积 / 点积 / 距离

点坐标（同一坐标系下的 A、B、C、D）

计算口径

· 二面角取两个法向量夹角的补角或本身都可能，本工具给出法向量夹角，并提示是否为钝角；
· 点到平面距离按 |AP·n| / |n| 计算，n 为平面 ABC 的法向量；
· 四面体体积按 |AB·(AC×AD)| / 6 计算。

结果

—

输入四点后点「开始计算」

平面 ABC 法向量 n₁—

平面 ABD 法向量 n₂—

二面角（法向量夹角）—

D 到平面 ABC 距离—

四面体体积—

|AB|—

法向量为什么用叉积算？

平面内两个不共线向量 AB、AC 的叉积 AB×AC 同时垂直于两者，因此就是该平面的法向量。叉积的坐标公式是 (y₁z₂−z₁y₂, z₁x₂−x₁z₂, x₁y₂−y₁x₂)，顺序不能乱，否则方向相反。

二面角到底是 θ 还是 180°−θ？

两个法向量的夹角与二面角相等或互补，取决于法向量指向哪一侧。判断方法：看图确定二面角是锐角还是钝角，再取对应值。本工具同时给出法向量夹角的余弦值，方便你判断。

体积公式里的 1/6 是怎么来的？

以 AB、AC、AD 为棱的平行六面体体积是 |AB·(AC×AD)|，四面体是它体积的 1/6，所以除以 6。