Unit Circle Deck · 单位圆速查台

三角函数公式
与特殊角速查卡

Q: 三角函数特殊角的值怎么背才不容易忘？

特殊角就五个要记：0°、30°、45°、60°、90°。记法是「正弦 1/2、√2/2、√3/2 一路往上，正弦 30 度记一半、45 度记根号二的一半、60 度记根号三的一半」；余弦照着正弦倒着背（cos30°=sin60°=√3/2，cos45°=√2/2，cos60°=sin30°=1/2）；正切用「正切 = 正弦 ÷ 余弦」现推，30°=√3/3、45°=1、60°=√3。再配一句口诀「一全二半三根二分之一、三根二分之一全二半三」记 30/45/60 度。

Q: 和角公式、倍角公式、降幂公式分别什么时候用？

看题目给的角：给的是两个角相加减（如 35°+25°），用和角公式 sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ、cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ、tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)；给的是同一个角的二倍（如 sin2α），用倍角公式 sin2α=2sinαcosα、cos2α=cos²α−sin²α、tan2α=2tanα/(1−tan²α)；给的是已知 cos2α 求 sinα 或求 sin²α，用降幂公式 sin²α=(1−cos2α)/2、cos²α=(1+cos2α)/2，再配半角公式 sin(α/2)=±√((1−cosα)/2)。

Q: 辅助角公式为什么能配凑？

因为 sinα=cos(90°−α)、cosα=sin(90°−α)、tanα=cot(90°−α)=1/tan(90°−α)。当题目给的角比较别扭（比如 sin(37°+53°) 里的 37°、53°），可以整体凑成 90° 或某个特殊角，例如 37°=90°−53°，于是 sin37°=cos53°，两角一换就变成 cos53°·cos53°+sin53°·sin53°=1。凡是出现「两个角加起来接近 90°」「a+b=90°」的式子，先想辅助角换算再算。

Q: 诱导公式的口诀「奇变偶不变」是什么意思？

指的是把角写成 k·90°±α 的形式：k 为奇数时，sin 变 cos、cos 变 sin、tan 变 cot；k 为偶数时函数名不变。符号则由「原函数值看象限」决定——把 α 当成锐角看它落在第几象限，结果就取该象限的符号。例如 sin(180°−30°)=sin30°=1/2（正号），sin(180°+30°)=−1/2（负号）。

Q: 这张速查卡能打印成口袋卡或挂图吗？

可以。页面提供三种查看模式：口袋卡只保留必背公式与特殊角值表，适合裁成小卡片随身带；讲义模式给出公式推导、例题与口诀，适合复习；挂图模式是一张放大版公式总表，适合贴在书桌前或教室后墙。点「打印当前模式」即可按对应纸张输出，公式与数值都按教材通用口径整理。

一页装下初中三角函数要背的全部公式：和角公式、倍角公式、降幂与半角、辅助角互化、诱导公式，每条都配「什么时候用」和一道例题。右侧单位圆可拖动，转动 θ 就能实时读出 sin、cos、tan 的值与符号；下方特殊角精确值表点一行即联动单位圆，输入任意角度还能立刻算出三角函数值。口袋卡 / 讲义 / 挂图三种版式随时切换，说背就背、说印就印。

可拖动单位圆特殊角精确值表任意角度速算口袋卡 / 挂图两版可打印公式 + 例题 + 口诀免费无需登录

单位圆速查器UNIT CIRCLE

θ = 30°

sin θ

1/2

= 0.5000

cos θ

√3/2

= 0.8660

tan θ

√3/3

= 0.5774

当前 30° 是特殊角：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=√3/3。点表格里的角度可直接跳转。

版式口袋卡=精简必背 · 讲义=带例题与推导 · 挂图=一张放大总表

式公式库

口袋卡：只显示必背公式 Formulas

GROUP 1和角公式（加减）

sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ

cos(α ± β) = cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ

tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα·tanβ)

什么时候用：题目里出现两个角相加减，如 sin(35°+25°)。例 sin35°·cos25° + cos35°·sin25° = sin(35°+25°) = sin60° = √3/2（和角公式直接合并）

GROUP 2倍角公式

sin 2α = 2·sinα·cosα

cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α

tan 2α = 2·tanα / (1 − tan²α)

什么时候用：题目里出现同一个角的二倍，如 sin2α、cos2α。例已知 sinα = 3/5（α 为锐角），求 cos2α：cos2α = 1 − 2sin²α = 1 − 2×(9/25) = 7/25

GROUP 3降幂公式与半角公式

sin²α = (1 − cos 2α) / 2　　cos²α = (1 + cos 2α) / 2

sin(α/2) = ±√((1 − cosα)/2)　　cos(α/2) = ±√((1 + cosα)/2)

tan(α/2) = sinα / (1 + cosα) = (1 − cosα) / sinα

什么时候用：已知 cos2α 求 sin²α；或要求 α/2 的三角函数值。例已知 cos2α = 1/3，求 sin²α：sin²α = (1 − cos2α)/2 = (1 − 1/3)/2 = 1/3　（半角正负号由 α/2 所在象限决定）

GROUP 4辅助角公式与互化

sinα = cos(90° − α)　　cosα = sin(90° − α)　　tanα = cot(90° − α) = 1 / tan(90° − α)

sinα · tanα = sin²α / cosα　　sinα / tanα = cosα

什么时候用：两个角加起来正好 90°（如 37°+53°），把其中一个换成另一个的余角。例 sin37°·cos53° + cos37°·sin53°：因 37° = 90° − 53°，sin37° = cos53°，原式 = cos²53° + sin²53° = 1

GROUP 5诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

sin(90° ± α) = cosα　　sin(180° − α) = sinα　　sin(180° + α) = −sinα

cos(90° ± α) = ∓sinα　　cos(180° ± α) = −cosα

tan(90° ± α) = ∓cotα　　tan(180° ± α) = tanα

什么时候用：把大于 90° 的角化到锐角，再定符号。例 sin(180° − 30°) = sin30° = 1/2（二象限，正号）；cos(180° + 30°) = −cos30° = −√3/2（三象限，负号）

角特殊角精确值表

点一行联动单位圆 Table

角度	sin	cos	tan
0°	0	1	0
30°	1/2	√3/2	√3/3
45°	√2/2	√2/2	1
60°	√3/2	1/2	√3
90°	1	0	不存在
120°	√3/2	−1/2	−√3
135°	√2/2	−√2/2	−1
150°	1/2	−√3/2	−√3/3
180°	0	−1	0

反三角函数值域（初中必记）

arcsin：−90° ≤ x ≤ 90° arccos：0° ≤ x ≤ 180° arctan：−90° < x < 90°

算任意角度速算

输入角度立即出值 Calc

试一试：输入 37°，看看 sin37°、cos37°、tan37° 分别是多少（≈0.6018 / 0.7986 / 0.7536）。

诀记忆口诀

背下来就不怕忘 Mnemonic

特殊角正弦：一全、二半、三根二分之一

正弦：90°=1（一全）、30°=1/2（二半）、60°=√3/2（三根二分之一）；45°=√2/2 单记。

余弦照正弦倒着背：cos30°=√3/2，cos45°=√2/2，cos60°=1/2。

正切：正弦除余弦，现推就行

tan30°=√3/3，tan45°=1，tan60°=√3；90° 处正切不存在。

tan = sin ÷ cos，三个特殊角两分钟推完。

诱导公式：奇变偶不变，符号看象限

奇数倍（90°、270°）函数名互换，偶数倍（180°、360°）函数名不变；符号由原函数在该象限的符号决定。

一全正、二半正负、三全负（正弦）；余弦一全正、二零、三全负；正切一全正、二无定义、三全正。

倍角降幂互化

看到 2α 就想平方，看到平方就还原成 2α：sin²α=(1−cos2α)/2，cos²α=(1+cos2α)/2。

二倍角 ↔ 平方，两边来回换。

先看角，再选公式

拿到题目先看角的形态：两个角相加减用和角公式；同一个角的两倍用倍角公式；出现 sin²、cos²用降幂公式；两角互补到 90°用辅助角；角大于 90°先用诱导公式化到锐角再定符号。

符号错是最常见的失分点

单位圆最直观：点落在哪个象限，哪个象限就决定符号。所以别死背符号表，先在单位圆上把点转一圈，符号自然就记住了。

算完一定代回检验

三角函数值只能在 −1 到 1 之间（tan 除外）。若算出 sin 值大于 1，一定是符号或公式用错了；tan 在 90°、270° 处不存在，别写成无穷大。

三角函数特殊角的值怎么背才不容易忘？

特殊角就五个要记：0°、30°、45°、60°、90°。记法是「正弦 30 度记一半、45 度记根号二的一半、60 度记根号三的一半」；余弦照着正弦倒着背；正切用「正切 = 正弦 ÷ 余弦」现推。再配一句口诀「一全二半三根二分之一」记 30/45/60 度。

和角公式、倍角公式、降幂公式分别什么时候用？

看题目给的角：给的是两个角相加减，用和角公式；给的是同一个角的二倍，用倍角公式；给的是已知 cos2α 求 sinα 或求 sin²α，用降幂公式 sin²α=(1−cos2α)/2，再配半角公式。

辅助角公式为什么能配凑？

因为 sinα=cos(90°−α)、cosα=sin(90°−α)、tanα=cot(90°−α)=1/tan(90°−α)。当题目出现「两个角加起来接近 90°」时，先换算再计算，例如 37°=90°−53°，sin37°=cos53°，原式立刻化简为 1。

诱导公式的口诀「奇变偶不变」是什么意思？

指把角写成 k·90°±α：k 为奇数时 sin 变 cos、cos 变 sin、tan 变 cot；k 为偶数时函数名不变。符号由原函数值所在象限决定，例如 sin(180°−30°)=1/2（正号），sin(180°+30°)=−1/2（负号）。

这张速查卡能打印成口袋卡或挂图吗？

可以。页面提供三种版式：口袋卡只保留必背公式与特殊角值表，适合裁成小卡随身带；讲义模式给出公式推导、例题与口诀；挂图模式是一张放大版公式总表。点「打印当前版式」按对应纸张输出即可。

本页公式与特殊角数值按初中数学教材通用口径整理，各版本教材对个别例题选材可能略有差异；单位圆与速算结果为数学函数精确计算值（非测量近似），考试作答请以老师要求与课本例题为准。使用记录仅保存在当前浏览器。

三角函数口袋卡 · 必背公式与特殊角

① 和角公式
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ
tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)

② 倍角公式
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos²α−sin²α=2cos²α−1=1−2sin²α
tan2α=2tanα/(1−tan²α)

③ 降幂 / 半角
sin²α=(1−cos2α)/2，cos²α=(1+cos2α)/2
sin(α/2)=±√((1−cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

④ 辅助角 / 诱导
sinα=cos(90°−α)，tanα=cot(90°−α)
奇变偶不变，符号看象限
sin(180°−α)=sinα，cos(180°±α)=−cosα

⑤ 特殊角精确值　0°：sin 0，cos 1，tan 0　|　30°：1/2，√3/2，√3/3　|　45°：√2/2，√2/2，1　|　60°：√3/2，1/2，√3　|　90°：1，0，不存在

公式组	公式	使用场景
和角	sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ	两角相加减
和角	cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ	两角相加减
和角	tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)	两角相加减
倍角	sin2α=2sinαcosα	同一角二倍
倍角	cos2α=cos²α−sin²α=2cos²α−1=1−2sin²α	同一角二倍
降幂	sin²α=(1−cos2α)/2　cos²α=(1+cos2α)/2	出现平方
辅助角	sinα=cos(90°−α)　tanα=cot(90°−α)	两角互补到 90°
诱导	奇变偶不变，符号看象限	角大于 90°
特殊角	0°：0,1,0　30°：1/2,√3/2,√3/3　45°：√2/2,√2/2,1　60°：√3/2,1/2,√3　90°：1,0,不存在	必背